Il filtraggio ( monitoring )
Il filtraggio o monitoring è il calcolo della probabilità dello stato corrente X(t) considerando tutte le variabili di prova O raccolte in passato nel lasso i tempo da 1 (momento iniziale) a t ( presente ).
La formula del filtraggio
Per costruire la formula del filtraggio prendo spunto da un esempio pubblicato nel libro Artificial Intelligence di Russel - Norvig. E' un testo usato in molte università di ingegneria.
Se lavoro in un deposito sotterraneo e non esco da sette giorni, non posso sapere se fuori piove oppure no.
Posso però dedurlo dai colleghi che arrivano al lavoro con l'ombrello oppure no.
In questo caso, la variabile incognita X è la pioggia ( modello di transizione ) mentre la variabile di prova O è l'ombrello ( modello sensoriale ).
Per calcolare la probabilità della pioggia (X), posso usare tutte le osservazioni O fatte nei giorni scorsi (1:t) fino a oggi.
Così facendo posso avere una stima se fuori piove oppure no.
Dato il risultato al tempo t posso anche stimare la probabilità di pioggia del giorno successivo t+1.
La formula del filtraggio per fare la previsione futura è la seguente:
A questo punto posso suddividere le variabili di prova in due gruppi ( O1:t , Ot+1 ).
Ora si può applicare il teorema di Bayes alla probabilità condizionata.
Nota. Secondo la regola generale di Bayes una probabilità condizionata P(A|B) può essere normalizzata e scomposta in α P(B|A)P(A). Dove alfa (α) è un fattore moltiplicativo che consente di avere la somma delle probabilità pari a 1.
Una volta applicata la regola di Bayes la formula diventa la seguente:
Nel primo membro si può eliminare O1:t per la proprietà della prova di Markov.
Nota. Secondo la proprietà di Markov della prova per calcolare la probabilità di una variabile casuale basta considerare l'ultima osservazione corrente. Le osservazioni passate possono essere eliminate.
Il secondo membro della formula del filtraggio è una predizione.
Cos'è una predizione? La predizione è il filtraggio allo stato successivo Xt+1 senza variabili di prova. In pratica, oggi non posso sapere se domani i colleghi arriveranno con l'ombrello oppure no ( Ot+1 ). Posso soltanto basarsi sulle prove passate O1:t. Pertanto, è un filtraggio senza il modello sensoriale in cui vale soltanto il modello di transizione.
Pertanto, la formula del filtraggio è la seguente:
Un esempio pratico
Prendiamo l'esempio del deposito sotterraneo. Non posso vedere se piove fuori.
Posso soltanto osservare se chi arriva ha l'ombrello oppure no.
Per costruire il modello accetto due ipotesi.
- Modello sensoriale. Se vedo un collega arrivare con l'ombrello c'è il 90% di probabilità che fuori piova. Se non ha l'ombrello c'è comunque il 20% di probabilità che piova.
- Modello di transizione. Se ieri ha piovuto c'è il 70% che piova anche oggi. Se ieri non ha piovuto, c'è comunque il 30% di probabilità che oggi piova.
La rappresentazione grafica del modello è la seguente:
Il primo giorno
Il primo giorno vedo arrivare il collega con l'ombrello (O1=vero).
Pertanto, le probabilità che fuori piova sono <0.9, 0.2>
Il calcolo nel primo giorno (t=1) è il seguente:
Nel primo giorno la probabilità che fuori piova è del 81,8%.
Viceversa, la probabilità che non piova è del 18,2%.
Il secondo giorno
Anche il secondo giorno vedo arrivare il collega con l'ombrello (O2=vero).
Pertanto, secondo il modello sensoriale le probabilità che fuori piova sono <0.9, 0.2>
Il calcolo nel secondo giorno (t=2) è il seguente:
In conclusione, secondo il filtraggio oggi la probabilità di pioggia è del 88%.
La probabilità inversa che non piova è del 12%.
