Come trovare l'interno di un insieme in R

Per trovare l'interno di un insieme in uno spazio topologico con la topologia standard, posso scrivere un piccolo script nel linguaggio R.

Ad esempio, definisco due insiemi aperti A e B.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

In questo caso sono due intervalli aperti di numeri reali.

L'insieme A contiene l'intervallo (1,3) di numeri reali.

> cat("Intervallo A:", A, "\n")

Intervallo A: 1 3

L'insieme B invece contiene l'intervallo (0,4) di numeri reali.

> cat("Intervallo B:", B, "\n")

Intervallo B: 0 4 

A questo punto scrivo una funzione per calcolare l'interno degli insiemi.

Dove l'interno degli insiemi in topologia è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in un insieme.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

Utilizzo la funzione che ho appena definito per calcolare l'interno dell'insieme A e quello dell'insieme B.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

Infine, visualizzo i risultati.

L'interno dell'insieme A(1,3) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in A ovvero int(A)=(1,3)

> cat("Interno di A:", Int_A, "\n")

Interno di A: 1.00001 2.99999

L'interno dell'insieme B(0,4) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in B ossia int(B)=(0,4)

> cat("Interno di B:", Int_B, "\n")

Interno di B: 1e-05 3.99999

Per una nota proprietà dell'inclusione degli interni, se un insieme A è sottoinsieme di B,  allora anche l'interno di A è un sottoinsieme di B.

$$ A \subseteq B \Longrightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Posso usare R anche per verificare questo aspetto

cat("Int(A) è contenuto in Int(B):", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) è contenuto in Int(B): TRUE

L'output di questo script mostra che l'interno di \( A \) è effettivamente contenuto nell'interno di \( B \).

E così via