Modello di miscelazione
Nella programmazione lineare un modello di miscelazione è caratterizzato da 2 o più elementi che possono essere miscelati tra loro per formare uno o più prodotti finiti.
$$ \begin{array}{c|lcr} & Elem.1 & Elem. 2 & Elem. 3 \\ \hline \text{Prodotto 1} & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ \text{Prodotto 2} & a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ \hline \text{Quantità} & x_1 & x_2 & x_3 \\ \hline \text{Costo} & c_1 & c_2 & c_3 \end{array} $$
I coefficienti aij indicano la quota di ogni elemento nei vari prodotti.
Le variabili xi misurano le quantità usate degli elementi ( variabili deciisonali ) mentre le variabili ci sono il costo unitario di ogni elemento.
Funzioni obiettivo
Generalmente, la funzione obiettivo di questi modelli è la minimizzazione del costo di produzione.
$$ \min C(x) = \sum_{j=1}^{n} c_j \cdot x_j $$
Può comunque essere qualsiasi altro. Dipende dal problema di ottimizzazione che devo risolvere.
Vincoli
I vincoli possono essere di ogni tipo.
Ad esempio, ogni componente potrebbe essere disponibile solo in determinate quantità.
$$ \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} x_j \le d_i $$
Potrebbero esserci dei limiti o proporzioni da rispettare per garantire un livello di qualità del prodotto finito, ecc.
$$ x_2 \ge 50 $$
Variabili decisionali
Le variabili decisionali (x) misurano le quantità dei componenti da usare per ottimizzare il modello.
$$ x_1, ... , x_n \ge 0 $$
Sono l'incognita del modello e generalmente sono valori numerici maggiori di zero ( vincolo di non negatività ).
Spesso sono valori interi.
Modello formale
Ecco un esempio di modello formale di miscelazione.
$$ \begin{cases} min f(x) = \sum_{j=1}^{n} c_j \cdot x_j \\ \\ \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} x_l \le d_i \\ \\ x_1, ... , x_n \ge 0 \end{cases} $$
Un esempio pratico di problema di miscelazione
Un'azienda produce due beni in tre fabbriche distinte.
Il costo di produzione unitario è diverso.
$$ \begin{array}{c|lcr} & Fabbrica1 & Fabbrica 2 & Fabbrica3 3 \\ \hline \text{Viti} & 0,15 & 0,25 & 0,45 \\ \text{Bulloni} & 0,20 & 0,30 & 0,40 \\ \hline \text{Ore lavoro} & x_1 & x_2 & x_3 \\ \hline \text{Costo} & 0,03 € & 0,02 € & 0,04 € \\ \hline \text{Capacità max. } & 30 & 20 & 40 \end{array} $$
I coefficienti sono i tempi di lavorazione in ore per produrre una tonnellata di viti e di bulloni.
Per ipotesi, l'azienda deve usare almeno il 50% della capacità produttiva in tutte le fabbriche. E' uno dei vincoli da considerare.
Il problema di miscelazione consiste nel distribuire le ore di lavoro tra i vari reparti per produrre 60 tonnellate di viti e bulloni al giorno.
In pratica, miscelare le ore di lavoro tra le varie fabbriche.
